咱们一辈子王人少不了要跟数打交说念。咱们对数的阐明也随着学问的增长接续扩大，从天然数到整数、有理数迪士尼彩乐园官网1，再到实数、复数。

天然数有取之不尽个，但并不是通盘的数的弥留性和闻明度王人是相提并论的。比如，相较其他一些数而言，圆周率π就相比稀奇，关于咱们也更弥留些。

那么，在数的王国里，除了π还有哪些也相比稀奇呢?稀奇在那边?为了让你“尝一脔而知一镬之味”，咱们将从中拣出几个，作浅显先容。

零：一个不是数的数

零天然是数，但若是较真起来，也不错说它不是数。为什么这样说呢?你不妨试想：数最早发明出来是用于数东西的;数为零，意味着没东西;既然连东西王人莫得，你还数什么呢?

有笔据标明，东说念主类在五千年前就学司帐数了，但零的历史却要到公元前1800年的巴比伦东说念主手里才动身点。关于巴比伦东说念主，零还不是一个沉寂的数，它仅是一个占位符。比如说101和11，若是中间没个0占位，就区别不开来。对巴比伦东说念主，零的作用仅止于此。那时，他们用两个斜对角的箭头来暗示零;咱们自后熟识的卵圆形标志“0”要到公元800年傍边才出现。

零看成一个沉寂的数，要归功于古印度数学家，是他们第一个阐明到，沉寂于计数的具体对象，数不错看成笼统物而存在。撰写星相学文件《婆罗门笈多》的古印度天文体家，在书上画了一条数字线，上头就包含了正数、负数和零。

零是一个沉寂的数的想法，在西方很晚才被遴选。被遴选的部分原因是，零是通向负数的必经“派系”，而负数在记账的时候(比如记欠账或亏本)是岂论怎样绕不开的。到了19世纪末，当西方数学家对数学的基础感好奇瞻仰的时候，零看成数的地位就更安详了。留心大利数学家皮亚诺设立的算术体系中，他的第一个公理是：零必须是一个数。因为零是分别正负数的“界线”，若是零不是一个数，你怎样能跳跃这个界线，对一个正数和一个负数履走运算呢?

零看成数的地位细咫尺来后，在界说“数是什么”这个问题上，它还演出了更大的变装。数是什么?这个问题真好比“你不问的时候，我知说念，你一问，我就费解了”。但数学是风雅精准和严格的。目前，对这个问题最散逸的回答来自勾通论。勾通的想法起头是由康托在1874年提议来的。一个勾通就好比一个笼统的数学“容器”，内部不错“装”多样“元素”。比如说，一个包含有7个元素的勾通，内部的元素既不错是《白雪公主》里的7个小矮东说念主，也不错是一星期的7天。但数学家问的问题老是怪怪的，他们不问内部装了什么东西，他们目前问：数7是什么真谛?怎样严格地界说数?

后果，他们还真找到了一个妙招。至于这个锦囊妙计是什么，咱们把它留在拓展阅读里。

欧拉数：为什么利息不会无极端地加多?

你在银行里存1元钱，如果年利率是100%，那么一年后你将获得2元。这很浅显吧。然则，假如银行不是在年底一次性结算利息的，而是逐月或每日，以至逐秒计息的呢?你会不会以为，由此一来你一年内获得的利息将大到取之不尽，让你一辈子花不完?六合天然没这样好意思的事!这里触及到数学上另一个最弥留的数——天然对数的底数e。

假定银行每年付两次息，这样，半年的利息降到了50%。这会使你的1元钱在6个月后变成1.5元;后半年，你的本金就不再是1元，而是1.5元了，到年底你将挣得后半年的利息0.75元;终末结算，你的1元钱一年之后变成了2.25元。如果你有好奇瞻仰按逐月复利递投的方式计息，你最终会获得2.61元。若是每日复利递投呢，将获得2.71元。如果按逐小时、逐分、逐秒计息，收益天然会接续加多，但加多的幅度越变越小，终末将停留在2.71828……傍边。

这个数践诺上是一个荒唐数，就像π一样，极少点后头随着无尽多个数字，何况不行轮回。该数以瑞士数学家欧拉的名字定名，称为欧拉数，简称e。

欧拉数并不单是在计较复利时才出现。举例，与虚数i沿途用，你不错获得一个有史以来最有名的方程——欧拉等式：eiπ+ 1 = 0。这个等式中，塞进了五个最弥留的数0、1、e、π、i，数学家对它的好意思于今陈赞不已。

欧拉数的践诺应用也极度广。举例，实验东说念主员频频要用X射线衍射来揭示分子结构(历史上DNA的双螺旋结构即是通过这种想法发现的)，对衍射图案的分析需要用到一项称作“傅里叶分析”的数学时代，而傅里叶分析又离不开欧拉数。

此外，还有一丝口舌常稀奇的：对函数ex进行积分或微分，你获得的依然是它自己ex。这在函数里是鹤立鸡群的。

黄金分割数：它确切是最好意思的数吗?

你可能仍是外传过斐波那契数列，即数列中下一个数是前两个数之和的数列：1, 1, 2，3, 5, 8，13……。这里有一丝挑升念念的东西：每个数和它前边一个数的比值，将越来越趋近一个特定的值，它当先的几位是1.618。

这个数叫黄金分割数。你还不错通过其他想法获得它。比如画一条正五边形的对角线，对角线与边长的比值，亦然黄金分割数。

你若是到网上搜索一下，会发现围绕这个数有许多不足为训的说法，比如有东说念主宣称古希腊的建筑就展现了这样的比例;还有东说念主说，东说念主的脸部比例若是稳当黄金分割，会更顺眼。

是不是真这样呢?古希腊的建筑师大约仍是发现黄金分割，并在建筑时有阐明地加以欺诈，但后东说念主要可信地解释这一丝并拦阻易。你大约会说，去测量一下古希腊建筑的遗址不就知说念了吗?然则，一座建筑的部位有那么多，你磋商测量哪个呢——你若是苦思恶想找这个比例，你老是能找到的，但这证明不了问题。

脸部线条趋近黄金分割比例是否一定比偏离黄金分割比例更好意思?这也不好妄下论断。因为好意思是无法严格界说的，何况何如才算好意思，在历史上也不是一成不变的。

葛立恒数：大到全天地王人写不下

数有无尽多个，咱们一般只跟它们中较小的打交说念，关于绝大大王人数，东说念主类就怕从来莫得战役到过。

毛主席围着大鼎转了一圈，又从鼎沿朝腹部仔细看了一会，转身风趣地说道：“好大一口鼎，里面能煮一头牛哇！”众人听后，无不哈哈大笑。

但在上世纪70年代，好意思国数学家罗纳德·葛立恒所从事的一项责任自后解释与之打交说念的数极度大。他试图经管一个与更高维度的立方体关联的问题，当他最终获得解答的时候，发现谜底触及到的数如斯之大，以至咱们没法将它写下——假如按A4纸的厚度，一页写2000个数字的话，通盘天地空间王人不够写!

不外，照旧有规范让你略知这个数是若干的。举例，关于3×3×3，一种更爽气的写法是33(或3^3)，真谛是“3个3的乘积”，后果是27。

咱们还不错用箭头标志↑来暗示，把3^3记作3↑3。3↑↑3暗示3^(3^3)，即327。这个数简短是7.6万亿。

如果再添加一个箭头，3↑↑↑3(即3的327次方)，幂上有幂的后果是让这个数大到难以置信的地步。而所谓的葛立恒数，迪士尼彩乐园开奖网站是3↑↑……↑3，中间有64个箭头。它大到通盘天地王人不够写的进程!咱们只知说念它的个位数字是7。

274,207,281-1：密码学上用到的数

2的74207281次方减1，这是目前已知的最大素数。这个数有2200多万位。它不仅是素数，照旧一个梅森素数。所谓的梅森素数即是不错表杀青2 n-1的素数。

其他的梅森素数还有3和31，但找到更大的梅森素数并不是一件容易的事。迄今，咱们只找到49个梅森素数。尽管数千年前，东说念主类就知说念素数有无尽多个，但梅森素数是否也有无尽多个，咱们于今还不明晰。

你也许会说，这王人是些数学家们的游戏，跟咱们绝不相干。错了，如果莫得这些极度大的素数，这个宇宙会很不一样。因为目前金融往复的加密时代王人有赖于素数;莫得可靠的加密时代，东说念主类的经济举止将受到严重插手。

用素数加密的形状是，吸收方将两个大素数相乘，然后用这个积经过一套复杂的处理，获得2个被称为“公钥”的数。吸收方把公钥传给发送方。发送方用公钥对信息进行加密，再传回吸收方。吸收方收到密文后，须用原先相乘的那两个素数(它们本来即是吸收方提供的)来解密破译。

让两个素数相乘，关于电脑是很容易的事情，但如果乘积饱和大的话，要把它回应回两个素数，那计较量就极度大了。窃听者即使截获公钥和密文，但由于他们不知说念当先相乘的素数是哪两个，他们也会一筹莫展。

i：虚数

数学上说，两个正数的乘积是正数，两个负数相乘积亦然正数。那么，什么数的平方是-1呢?谜底是虚数 i。

第一个把负数的平方根称为虚数的，是法国大数学家笛卡尔。但直到18世纪，数学家才发明用 i 来暗示-1的平方根。

虚数无法出目前一般的数轴上，是以数学家另设了一条虚数轴，与原本的实数轴相交于0。这样，虚数就不错在二维的平面上暗示出来。虚数在描写疏导电或在量子力学上描写波函数时很有效。

循着数学家发明虚数的前例，1843年爱尔兰数学家哈密尔顿又发明了四元数，即在复数的基础上又添加了两个沉寂的维度。四元数一般可暗示为a + bk + cj + di，其中a、b、c 、d是实数。如果复数可在二维平面上暗示出来，那么四元数需要在四维空间智商暗示。按这条念念路，其实还不错创造八元数、十六元数……

李雅普诺夫指数：恒久天气预告之不行能

阵势部门天然不错预计未来、后天的天气，但要想预计下个月的天气，险些是不行能的，是以你手机上的天气预告APP，最多只给你显现改日一周的天气。

恒久的天气预告之是以不行能，是因为大气系统关于动身点条款极度明锐。19世纪下半叶，俄国数学家亚历山大·李雅普诺夫发明了一个指数来忖度一个系统对其动身点条款的明锐进程。举例，请想像一下扔一个球。如果你知说念扔的角度和速率，就不错计较出球会落在那边。预计准确度不错好到无需有计划像空气阻力等次要要素的影响。即使你测量球的出射角度有点偏差，也关系不大。这证明，球的默契对动身点条款是不解锐的。这种情况对应的李雅普诺夫指数是0，或者可能是负值。

何种情况算对动身点条款明锐呢?照旧以扔球为例。倘若在大地上以雷同的速率抛掷一个球，你以30度角抛出去，最高只可抛到一棵树的高度，但以30.00000001度抛出去，却抛到天外的高度了(天然，这只是假定)。一亿分之一度的轻微互异，却形成如斯悬殊的后果。这即是对动身点条款明锐的一个例子。数学家把这类系统称为污秽。

一个系统的李雅普诺夫指数高于零，即是不行预计的。天气即是一个很好的例子，因为动身点条款(举例气压或温度)的轻微互异，会随着时刻的推移呈指数式增长，就像好意思国阵势学家说的，“一只蝴蝶在巴西轻拍翅膀，不错导致一个月后在好意思国德克萨斯州起一场龙卷风。”而要把动身点条款测量全王人准确，又非东说念主力所及，这就让预计失去了意旨。

拉普拉斯极限：为什么咱们不会被甩出太阳系?

1609年，伟大的天文体家开普勒出书了一真名为《新天文体》的书。书中的一个论断对那时的众东说念主可谓一枚重磅炸弹：行星绕太阳的轨说念不是无缺的圆形，而是卵形的。

这个论断被随后的不雅测所阐述，是以遴选起来倒也不难，但作念出这一预言的中枢——开普勒方程，却让许多天文体家昏头昏脑。

该方程描写的是从随便肇端点动身点，天体默契的坐标与时刻的关系。但要求得位置解，却极度辣手。数学家花了150年的时刻才找到经管这一问题的规范。这个忙绿的经由触及一长串的数学抒发式，称为“级数张开”。然后，法国数学家拉普拉斯解释，当天体的轨说念太扁时，这一规范将会失效。

数学上用偏心率来忖度一个椭圆偏离圭臬圆有多远。圆的偏心率为0，偏心率越大，椭圆越扁。拉普拉斯发现，关于偏心率大于0.66的行星轨说念(目前称为“拉普拉斯极限”)，该规范求得的解已不再是椭圆，而是灵通的弧线。

这意味着偏心率越高，轨说念越不结识。幸运的是，地球轨说念的偏心率只消0.02。离太阳越远的天体，平方具有更高的偏心率，比如冥王星的偏心率是0.25。

关于彗星那样有着极高偏心率的天体，它们时而集会太阳，时而扎进太阳系中最冷的角落地区。咱们天然谁王人不想地球也这样。

无尽大：与有限性质迥然有别

“亿!”

“亿亿!”

“无尽大!”

“无尽大加一!”

……

你在孩提时一定跟同伴玩过看谁报出的数最大的游戏。关于咱们生计的这个世俗的宇宙，就怕莫得比无尽大的存在更离奇、更另类的了。在物理学上，当计较触及无限大的时候，多半是表面出了问题，令物理学家不得不回头修改表面。历史上，量子论的提议就肇始于计较黑体放射时出现的令东说念主困惑的无限大。

不外，无尽大的事物并不料味着不存在。举例，黑洞中心的奇点，其密度即是无尽大，但黑洞的存在仍是越来越成为不争的事实(天然，也有东说念主一直坚抓以为不错通过量子引力表面来搁置奇点密度的无尽大，可惜这样的量子引力表样貌前还不存在)。

在数学上，筹商无尽大的数学分支是勾通论。对无尽大的筹商，揭示出它有许多不行念念议的特征。

不妨有计划一下德国数学家希尔伯特在1924年提议来的一个让东说念主头疼的问题：设想一个栈房里有无尽多个房间，房间里王人住满了东说念主。目前，又来了一群无尽多的新宾客。栈房该怎样处理?

换成你，大约会打出“本店当天已满员，恕不理财新客”的牌子，但希尔伯特却说，依照他的想法，包你能把通盘新宾客王人安排住下。想法是这样：把1号房间的宾客挪到2号，把2号房间的宾客挪到4号，把3号房间的宾客挪到6号，循序类推，把n号房间的宾客挪到2n号;这样下去，通盘奇数号房间王人空出来了，你就不错把新宾客安排住进去。如果再来一群无尽多的宾客，你依然不错比葫芦画瓢。这意味着，一座有着无尽多房间的栈房，尽管仍是住满了东说念主，却依然能够领受无尽多的新宾客。

这只是只是无尽大不行念念议的特点之一。此外，还有诸如“部分不错等于全体”“一些无尽大似乎比另一些无尽大还要大”等等。说真话，关于这些有悖常理的特征，即便使用勾通论筹商起来亦然稀里糊涂。

至此，咱们已大致晓悟了数王国里一些稀奇而奇妙的数。有些触及天文，有些触及金融迪士尼彩乐园官网1，有些触及审好意思，有些触及密码术……其实，倘若结合科学东说念主文的各个范围，那么数王国里险些每个数王人能找到其不世俗之处，但限于篇幅，咱们就不逐一细说了。

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